Родился в 1880 г. Место рождения: Карская обл., г. Кагизман. Русский.
Получил среднее образование. Род деятельности к моменту ареста - "пенсионер, бывш. железнодорожник". Был беспартийным. Последний раз Борис Николаевич Влесков был арестован 14 сентября 1937 г.
Приговор вынесен Тройкой при УНКВД СССР по Московской обл. 20 декaбря 1937 г. Был расстрелян 22 декaбря 1937 г. на Бутовском полигоне НКВД под Москвой. Реабилитирован 30 июня 1989 г. за отсутствием состава преступления.
Служил в царской армии в Тифлисе в чине капитана артиллерии, Первую мировую войну закончил в чине полковника, командиром 8-го отдельного полевого тяжелого артиллерийского дивизиона. Кавалер орденов Святого Станислава 3-й и 2-й степени, Святого Владимира 3-й степени.
В 1918 году Влесков некоторое время жил в Киеве. В 1919 году он шесть месяцев служил в армии Деникина добровольцем. В 1921 году в Батуми Влесков был под следствием по обвинению в участии в Белой армии, был осужден без права проживания в больших городах.
До 1933 года Борис Николаевич проживал в городе Акстафа (Азербайджан), работал железнодорожником. В Москву перебрался в 1936 году и жил у знакомой, не имея прописки. К моменту ареста Борис Николаевич был на пенсии.
Влескова арестовали 14 сентября 1937 года «в зоне особого обслуживания». Согласно служебной записке майора госбезопасности Малышева, Влесков «почти ежедневно ходит около охраняемых объектов, объясняет, что ходит собирать грибы. В прошлом царский полковник и белый офицер деникинской армии. Имеет связи с бывшими царскими офицерами и регулярно посещает их».
Влескова продержали в тюрьме три с лишним месяца. 20 декабря 1937 года «тройка» при УНКВД по Московской области приговорила его к высшей мере наказания по обвинению во «враждебном настроении по отношению к советской власти», «связях с враждебно настроенными к Советской власти элементами» и «контрреволюционных намерениях». Приговор был приведен в исполнение через два дня — 22 декабря 1937 года. Ему было 57 лет.
Борис Николаевич Влесков был реабилитирован в 1989 году.