Константин Владимирович Шур родился в 1882 году в городе Копысь Могилевской губернии в семье учителя. Работать начал рано, нигде не учился. С 1896 по 1901 годы был формовщиком на гончарно-израсцовом заводе, позже — подручным токаря.
В 1901 году был впервые арестован за организацию забастовки и, отсидев пять месяцев, был освобожден под надзор полиции. В 1903 году он вступил в РСДРП (меньшевиков), был членом Польского комитета меньшевиков, состоял в партии до 1916 года.
Перебрался в Екатеринославскую губернию, где вел агитационную работу под кличками «Ефим» и «Сережа». Весной 1904 года вновь был арестован и сидел около года в Луганске. В 1905-1906 годах работал в организации РСДРП в Клинцах, Новозыбкове и Мариуполе под кличкой «Костя». В 1906 году Шур участвовал в работе партийного съезда в Стокгольме, был делегатом от Мариуполя на конференции Южно-русской организации РСДРП в Харькове. Тогда же его арестовали в третий раз и приговорили к административной ссылке, которую он отбывал в Яровске (Вологодская губерния). Из ссылки бежал в 1907 году, некоторое время работал в Московской организации РСДРП, а в 1908 году эмигрировал в США, где работал чернорабочим в Кливленде. В Россию он вернулся в 1916 году. На границе его задержали, и Харьковская судебная палата приговорила его к лишению свободы и ссылке в Сибирь. Но в ссылку его не успели отправить, и Февральскую революцию он встретил в харьковской тюрьме. В 1920-х годах Шур примкнул к правой оппозиции, одно время работал с Алексеем Рыковым, что не могло позже не сказаться на его дальнейшей судьбе.
В 1920-1923 годах Шур занимал должность начальника производственно-технологического отдела МСНХ, был членом президиума МСНХ. Затем до 1927 года был председателем Московского Губплана, до 1929 года — директором Мосэлектропрома. Потом партия направила его в Узбекистан, где до 1931 года он был председателем Госплана Узбекской ССР. В 1931 году был снят с работы «за грубейшие правооппортунистические ошибки в основных вопросах планирования и вопросе коллективизации (кулацкая характеристика колхозного движения и перспектив его развития, проектировка затухающих темпов использования тракторов и т.д.)». Тогда, согласно архивным документам, Шур «признал, что его роль на совещании Госпланов Средней Азии в марте 1930 года дает повод к обвинению его в правооппортунистических настроениях, но правым оппортунистом себя не считает».
От более сурового наказания Константина Владимировича тогда спасли “положительные отзывы товарищей”. Его “ошибки” были признаны “эпизодическими”.
Шур вернулся в Москву, где сначала устроился работать начальником сектора легкой индустрии Госплана СССР, затем занял должность заместителя председателя Комитета стандартизации при СТО СССР. А в 1932 году он занял должность начальника Центрального управления мер и весов, которое в 1936 году было передано в ведение НКВД СССР.
В 1934 году ЦК ВКП(б) поставил ему на вид за «слабую работу по обеспечение розничной торговли мерами и весами».
В 1937 году тучи снова сгустились над его головой. Шур был исключен из партии «за скрытие своих прежних антипартийных позиций и за полную потерю партийной бдительности». К тому моменту его сын Александр уже был расстрелян по ложному обвинению в «участии в антисоветской троцкистской террористической организации». К моменту ареста Шур работал научным сотрудником в Институте экономики Московской области.
Константина Владимировича арестовали 10 марта 1938 года. Его обвинили в “контрреволюционной шпионской деятельности в пользу Латвии”. По мнению следствия, Шур в 1936 году был якобы завербован агентом латвийской разведки Эрисом, когда Шур работал в Управлении мер и весов (Карл Янович Эрис был расстрелян 7 апреля 1938 года по обвинению в «принадлежности к контрреволюционной националистической шпионской организации»). Следствие обвиняло Шура в том, что он «передавал все материалы шпионского характера о состоянии лаборатории колибров (так в оригинале. — ред.) всех инструментальных заводов, а также инструментальных цехов авиазаводов и оборонной промышленности».
Через полтора месяца — 30 апреля 1938 года — Комиссия НКВД СССР и прокурора СССР приговорила его к расстрелу, который произошел 17 мая 1938 года. Ему было 56 лет.
В 1956 году Константин Владимирович Шур был реабилитирован, поскольку обвинения, выдвинутые против него, «не нашли своего подтверждения и являются необоснованными».